"Một số bài toán xác định đa thức"
(Thực hiện trong 3 tiết)
Sau khi học sinh được học các kiến thức về đa thức ở lớp 7 và lớp 8 , các em đã được trang bị một số kiến thức về đa thức như: Định nghĩa, các tính chất, các phép biến đổi, nghiệm của đa thức, giá trị của đa thức tại một giá trị x0 nào đó (x là biến số ), xác định một đa thức
Nhưng dù sao trong phạm vi trường THCS không chuyên vấn đề này vẫn là vấn đề không phải dễ đối với học sinh.
Phạm vi thực hiện: Trong 3 tiết
Đối tượng là học sinh lớp 8A1 trường THCS Thanh Cao - huyện Thanh Oai - tỉnh Hà Tây.
Các bài toán:
I. Xác định đa thức P(x) khi biết giá trị của P(X0)
Bài toán 1: Tìm một đa thức bậc một biết: P(0) = 2 ; P(1) = 5
Giải: ta có : P(x) = ax + b trong đó x là biến số, a, b là hằng số.
Thế thì : P0 = a.0 + b = 2 có ngay b = 2 (*)
P(1) = a.1 + b = a + b =5 (**)
Thay (*) vào (**) ta có: a + 2 = 5 b = 3.
Vậy P(x) = 3x + 2 là đa thức phải tìm.
Bài toán 2:
Tìm một đa thức bậc 2 biết P(0)= 19 ; P(1) = 5; P(2) = 1995
Giải : Đặt : P (x) = ax2 + bx + c
Với x = 0 ta có P (0) = a.0 + b.0 + c = 19 c =19
Với x = 1 ta có P(1) = a.1 + b.1 + c = a + b + 19 = 5 a + b = -14 (1)
Với x = 2 ta có P(2) = a.22 + b .2 + c = 4a + 2b + 19 = 1995
2a + b = 988 (2)
Từ (1) và (2) suy ra: a = 1002 ; b = 1016
Vậy P(x) = 1002x2 - 1016 x + 19
Bài toán 3:
Tìm một đa thức bậc ba P(x)
Cho biết khi chia P(x) cho các đa thức : (x - 1) ; (x - 2) ; (x - 3) đều được dư là 6 và P(-1) = -18
Giải: Giả thiết ta có P(x) = (x - 1) . A(x) + 6
P(x) = (x - 2) . B(x) + 6
P(x) = (x - 3) . C(x) + 6
P(1) = P (2) = P (3) = 6
Đặt P (x) = a(x-1)(x-2)(x-3) + b (x-1)(x-2) + c(x-1) + d
Cho x = 1 P(1) = d = 6
Cho x = 2 P(2) = 6 + c c = 0
Cho x = 3 P(3) = 6 + 2 b b = 0
P(x) = 6 + a ( x - 1) (x - 2) (x-3)
Cho x = -1 P(-1) = 6 - 24 a = -18 a = 1
Vậy P(x) = x3 - 6 x2 + 11x .
Bài toán 4: Cho đa thức bậc bốn P(x) biết thoả mãn:
P(-1) = 0 và P(x) - P(x-1) = x (x +1) (2x + 1 )
1) Xác định P(x).
2) Suy ra giá trị của tổng sau đây:
S = 1.2.3 + 2.3.5 + ... + n(n+1)(n