ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI
TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN
ĐỀ THI TUYỂN SINH VÀO LỚP 10
TRƯỜNG THPT CHUYÊN KHTN NĂM 2011


ĐÁP ÁN MÔN: TOÁN (Vòng 1)
Câu I. 1) Hệ phương trình tương đương với




+) Nếu
suy ra
nên từ

do đó từ


mâu thuẫn.
+) Nếu
, tuơng tự suy ra
mâu thuẫn.
+) Nếu
(thỏa mãn).
Đáp số

2) Điều kiện
. Phương trình tương đương


Chia hai vế cho
ta thu được




+) Giải

.
+) Giải

.
Đáp số
.
Câu II. 1) Giả sử tồn tại các số nguyên
thỏa mãn


.
Ta có
với mọi số nguyên



Mâu thuẫn với
. Vậy không tồn tại
thỏa mãn đẳng thức.
2) Phương trình tương đương với



+) Nếu

(mâu thuẫn vì
nguyên).
+) Nếu

và
là nghiệm, ta suy ra
cũng là nghiệm, mà
mâu thuẫn.
+) Nếu
(thỏa mãn).
Vậy
là nghiệm duy nhất.
Câu III
Tứ giác
nội tiếp và
là phân giác góc

cân tại


.Tứ giác
nội tiếp

(cùng bù với góc
). Trong
có
vừa là đường cao vừa là đường phân giác nên
cân tại
. Do



cân tại


Từ
suy ra
(đpcm).








Từ câu 1)
suy ra
. Mà
là đường cao tam giác cân

. Từ đó
vậy
là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác
(đpcm).
Theo (3)
mà

. Ta có
là đường phân giác
góc

.
Mà
là trung trực
và

.
Từ hai đẳng thức trên suy ra
(đpcm).
Câu IV. Ta chứng minh








(đúng).
Ta chứng minh
(2)





Ta có





đúng.
Từ
và

. Dấu bằng xảy ra
. Vậy
.