SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO KỲ THI TUYỂN SINH LỚP 10 THPT HÀ NỘI Năm học: 2012 – 2013
ĐỀ CHÍNH THỨC MÔN: TOÁN
Thời gian làm bài: 120 phút
Bài I (2,5 điểm)
Cho biểu thức
Tính giá trị của biểu thức A khi x = 36.
Rút gọn biểu thức
(với x
0, x
16).
Với các biểu thức A và B nói trên, hãy tìm các giá trị nguyên của x để giá trị của biểu thức B(A – 1) là số nguyên.
Bài II (2,0 điểm) Giái bài toán sau bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:
Hai người cùng làm chung một công việc trong
giờ thì xong. Nếu mỗi người làm một mình thì thời gian để người thứ nhất hoàn thành công việc ít hơn người thứ hai là 2 giờ. Hỏi nếu làm một mình thì mỗi người phải làm trong bao nhiêu giờ để xong công việc?
Bài III (1,5 điểm)
Giải hệ phương trình

Cho phương trình :
(ẩn x). Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1, x2 thỏa mãn điều kiện

Bài IV (3,5 điểm) Cho đường tròn (O; R) đường kính AB. Bán kính CO vuông góc với AB, M là điểm bất kì trên cung nhỏ AC (M khác A và C), BM cắt AC tại H. Gọi K là hình chiếu của H trên AB.
Chứng minh tứ giác CBKH là tứ giác nội tiếp.
Chứng minh

Trên đoạn thẳng BM lấy điểm E sao cho BE = AM. Chứng minh tam giác ECM là tam giác vuông cân tại C.
Gọi d là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm A. Cho P là một điểm nằm trên d sao cho hai điểm P, C nằm trong cùng một nửa mặt phẳng bờ AB và
. Chứng minh đường thẳng PB đi qua trung điểm của đoạn thẳng HK.
Bài V (0,5 điểm) Với x, y là các số dương thỏa mãn điều kiện x
2y, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức M =
.
BÀI GIẢI
Bài I: (2,5 điểm)
1) Với x = 36, ta có : A =


2) Với x
, x ( 16 ta có :
B =
=

3) Biểu thức B (A – 1) =
=
là số nguyên
( x – 16 = (1 hay x – 16 = (2 ( x = 15 hay x = 17 hay x = 14 hay x = 18
Bài II: (2,0 điểm)
Đặt x là số giờ người thứ nhất hoàn thành công việc ( x + 2 là số giờ người thứ hai hoàn thành công việc. Vậy ta có phương trình :

( x = 4
Vậy người thứ nhất làm xong công việc trong 4 giờ và người thứ hai làm xong công việc trong 6 giờ.
Bài III: (1,5 điểm)
1)
(
(
(

2) ( = (4m – 1)2 – 12m2 + 8m = 4m2 + 1 > 0, (m
Vậy phương trình có 2 nghiệm phân biệt (m
Ta có : x1 + x2 =
= 4m – 1 và x1.x2 =
= 3m2 – 2m
Do đó, ycbt ( (x1 + x2)2 – 2x1x2 = 7
( (4m – 1)2 – 2(3m2 – 2m) = 7 ( 10m2 – 4m – 6 = 0 ( m = 1 hay m =

Bài IV: (3,5 điểm)












Tứ giác CBKH có hai góc đối
nên tứ giác CBKH nội tiếp trong vòng tròn đường kính HB.
Góc
chắn cung
và
vì cùng chắn cung
.
Vậy

Xét 2 tam giác MAC và EBC có hai cặp cạnh EB = MA, AC = CB và góc giữa
=
vì cùng chắn cung
nên 2 tam giác đó bằng nhau.
Vậy ta có CM = CE và
vì chắn cung
.
Vậy tam giác MCE vuông cân tại C.

Xét 2 tam giác PAM và OBM
Theo giả thuyết ta có
. Mặt khác ta có
vì cùng chắn cung
vậy 2 tam giác trên đồng dạng.
Vì tam giác OBM cân tại O nên tam giác PAM cũng cân tại P. Vậy PA = PM.
Kéo dài BM cắt d tại Q. Xét tam giác vuông AMQ có PA = PM nên PA = PQ vậy P là trung điểm của AQ nên BP cũng đi qua trung điểm của HK, do định lí Thales (vì HK//AQ).
Bài V: (0,5 điểm)
M =
với x, y là các số dương